技術記事

高調波とは何ぞや?アンプの出力波形歪みとフーリエ級数展開から読み解く

歪のある出力波形

メーカーや専門商社にいると、
高調波」といった言葉を時々聞くと思います。
特にアンプの特性を語るとき、よく使われる
わけですが、高調波は、どこからともなく
やって来るわけではありません。

出力波形の歪を周波数の世界で表現すると、
高調波成分が乗る」わけですが、
今回は、それの超簡単な解説を試みます。

アンプの特性と出力波形

特にアンプの特性を
議論するとき、
必ずと言っていいほど、
高調波成分」という
言葉がでてきます。
理想のアンプは、
入力波形をそのままの形で、
出力レベルのみ一定の比率で
増幅(若しくは縮小)して
出力します。
ただし、
現実のアンプでは、
出力波形に歪みが生じます。
これが、高調波成分を生み出す
のですが、
波形の歪みと周波数成分に
どういう関係があるのか。

それを以下に、解説を試みます。

あるアンプへの入力が、
周波数: $\ f_{0} $
の理想のサイン波だったとします。

その場合、
アンプからの出力の理想は、
$\ A\sin \omega_{0}t$ (図1)
※ $\ \omega_{0}=2\pi f_{0} $

この場合、入力の周波数は、$\ f_{0} $
出力の周波数も$\ f_{0}$ です。

理想の出力波形図1 理想の出力波形

しかし、
現実のアンプは、
(好ましくない)特性を
持ちますので、
出力波形に歪みが生じます。
例えば、
出力レベルの限界により
歪んだ出力波形は、
図2のようになります。

歪のある出力波形図2 歪のある出力波形

それでは、
これらの出力波形の周波数成分を
求めてみましょう。

出力波形の周波数成分を求める

出力波形の周波数成分を
求める手法として、
フーリエ級数展開があります。

フーリエ級数展開のコンセプトは、

ある周波数($\ f_{0}$)の任意の関数: $\ D(t)$は、
式(1)のように表される。
$\ D(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum^{\infty}_{n=1}(a_{n}\cos n\omega_{0} t+b_{n}\sin n\omega_{0} t)$ ・・・式(1)
※ $\ \omega_{0}=2\pi f_{0} $

すなわち、周波数:$\ f_{0}$の任意の関数$\ D(t)$は、
$\ f_{0}$の整数倍の周波数のサイン波/コサイン波
の足し算で表されます。

さて、図2の出力波形ですが、
波形に歪みがあるものの、
周波数: $\ f_{0}$の
任意の関数の一つです。
つまり、
フーリエ級数展開が適用できます。

図1の理想の出力波形にも、
もちろんフーリエ級数展開は
適用できます。
この場合、式(1)の$\ b_{1}$のみ有限の値で、
他の$\ a_{n}$, $\ b_{n}$ は、ゼロとなります。
つまり、$\ f_{0}$以外の
周波数成分はゼロとなります。

しかし、
図2の出力波形については、
式(1)の$\ b_{1}$ 以外の$\ a_{n}$, $\ b_{n}$も、
何らかの有限の値となります。
つまり、
$\ f_{0}$の整数倍の周波数成分が
発生します。

高調波成分とは?

つまり、
図1の理想の出力は、
入力の周波数:$\ f_{0}$以外の
周波数成分がないのに対して、
図2の出力波形は、
入力の周波数: $\ f_{0}$の整数倍の
周波数成分も含みます。
これを「高調波成分」と呼びます。
以上。

補足

$\ a_{n}, b_{n}$の具体的な求め方や、
フーリエ級数展開に関する詳細は、
下記のサイトが分かりやすいです。
(拙者も忘れかけていたのを
このサイトで再度勉強しました。)

http://www7b.biglobe.ne.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap3/index.htm

また、
フーリエ級数展開や
信号解析について
本でじっくりと
勉強されたい場合は、
下記書籍も
よろしかったら、
手に取っていただければ
と思います。

ABOUT ME
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ヘーシロー。
幼い頃より慈悲の心に目覚め、
現在は慈愛に満ちたパパ。
エンジニア歴20年近いオジでもあるが、
会社では全然エラくない!

このままでは、
自分が培ってきた技術が
ただただ埋もれていくと
危機感を持つ。

最初に勤めた会社は、
色々な事が許せず退職し、
就職先の影も形もない状況で浪人。

浪人後に就職したメーカー・商社で、
自身の英語と技術知識に自信を持つ。
年収は浪人前の1.5倍。

最近はブログに目覚め、
技術記事やキャリア形成、
英語について、
思うところを発信する。
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